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Arbeiten mit dreidimensionalen harmonischen Oszillatoren

Arbeiten mit dreidimensionalen harmonischen Oszillatoren - Dummies

In der Quantenphysik, wenn man in einer Dimension arbeitet, sieht der allgemeine harmonische Oszillator wie die hier gezeigte Figur aus. Partikel steht unter dem Einfluss einer Rückstellkraft - in diesem Beispiel als Feder dargestellt.

Ein harmonischer Oszillator.

Die Rückstellkraft hat die Form F x = - k x x in einer Dimension, wobei k x ist die Proportionalitätskonstante zwischen der Kraft auf das Teilchen und dem Ort des Teilchens. Die potentielle Energie des Teilchens als Funktion der Position x ist

Dies wird manchmal auch als

geschrieben. Betrachten wir nun den harmonischen Oszillator in drei Dimensionen. In drei Dimensionen sieht das Potential so aus:

Nun, da Sie eine Form für das Potential haben, können Sie mit der Schrödingergleichung beginnen:

Für das dreidimensionale Potential, V ( x, y, z ), erhalten Sie diese Gleichung:

Nehmen Sie diese Dimension nach Dimension. Da Sie das Potential in drei Dimensionen aufteilen können, können Sie

Deshalb sieht die Schrödingergleichung für x wie folgt aus:

Wenn Sie diese Gleichung lösen, erhalten Sie diese nächste Lösung:

wobei

und n x = 0, 1, 2 und so weiter. Der Ausdruck H n x zeigt ein Hermit-Polynom an, das wie folgt aussieht:

  • H 0 ( x ) = 1

  • H 1 ( x ) = 2 x

  • H 2 ( x ) = 49999 x 999 > 2 - 2 H 3 ( x

  • ) = 89999 x 39999-129999 x 999 4 ( x ) = 16 999 x 999 49999 - 48 999 x 999 2 999 + 129999 H 999 > 5 999 (999 x 999) = 32 999 x 999 59999 - 160 999 x 999 3 999 Sie können die Wellenfunktion wie folgt schreiben: Das ist eine relativ einfache Form für eine Wellenfunktion, die durch die Tatsache ermöglicht wird, dass Sie das Potenzial in drei Dimensionen aufteilen können. Was ist mit der Energie des harmonischen Oszillators? Die Energie eines eindimensionalen harmonischen Oszillators ist . Analog ist die Energie eines dreidimensionalen harmonischen Oszillators gegeben durch Beachten Sie, dass wenn Sie einen isotropen harmonischen Oszillator haben, wo

  • die Energie aussieht dies: Was das kubische Potential betrifft, ist die Energie eines isotropen harmonischen Oszillators degeneriert. Zum Beispiel ist E 112 = E 121 = E 211 . In der Tat ist es möglich, eine mehr als dreifache Entartung für einen isotropen harmonischen Oszillator zu haben - zum Beispiel E 200 = E 020

  • = E 002 = E < 110 = E 101 = E 011 . Im Allgemeinen ist die Entartung eines 3D-isotropen harmonischen Oszillators , wobei n =

n

x

+

n

y

+

n z .