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Einrichten von Teilfraktionen, wenn Sie verschiedene lineare Faktoren haben

Einrichten von Teilfraktionen mit eindeutigen linearen Faktoren - Dummies

Ihr erster Schritt bei einem Problem, das partielle Brüche beinhaltet, besteht darin, zu erkennen, mit welchem ​​Fall Sie es zu tun haben, damit Sie das Problem lösen können. Der einfachste Fall, in dem Teilfraktionen hilfreich sind, liegt vor, wenn der Nenner das Produkt von unterschiedlichen linearen Faktoren ist - also linearen Faktoren, die nicht wiederholt werden.

Zum Beispiel können Sie dies ändern:

dazu:

Denken Sie daran, dass Sie für jeden einzelnen linearen Faktor im Nenner einen Teilbruch der folgenden Form hinzufügen müssen:

Nehmen wir zum Beispiel an, Sie wollen den folgenden rationalen Ausdruck zu integrieren:

Der Nenner ist das Produkt von drei verschiedenen linearen Faktoren - x, ( x + 2) und ( x - 5) - so ist es gleich der Summe von drei Brüchen mit diesen Faktoren als Nenner:

Die Anzahl der verschiedenen linearen Faktoren im Nenner des ursprünglichen Ausdrucks bestimmt die Anzahl der Teilfraktionen. In diesem Beispiel liefert das Vorhandensein von drei Faktoren im Nenner des ursprünglichen Ausdrucks drei Teilfraktionen.

Sie haben zwei Möglichkeiten, die Unbekannten in einer Summe von Teilfraktionen zu finden. Der einfache und schnelle Weg ist die Verwendung der Polynomwurzeln. Leider findet diese Methode nicht immer alle Unbekannten in einem Problem, obwohl es oft einige von ihnen findet. Der zweite Weg ist die Einrichtung eines Gleichungssystems.

Wenn eine Summe von Teilfraktionen unterschiedliche lineare Faktoren hat, können Sie die Wurzeln dieser linearen Faktoren verwenden, um die Werte von Unbekannten zu finden:

Um die Werte der Unbekannten A, B zu finden, und C, erhalten zuerst einen gemeinsamen Nenner auf der rechten Seite dieser Gleichung (der gleiche Nenner wie auf der linken Seite):

Multiplizieren Sie nun beide Seiten mit diesem Nenner:

1 = A ( x + 2) ( x - 5) + Bx ( x - 5) + Cx ( x + 2)

Um die Werte von A, B, und C zu finden, ersetzen Sie die Wurzeln der drei Faktoren (0, -2 und 5):

Wenn Sie diese Werte wieder in die ursprüngliche Gleichung einfügen, erhalten Sie:

Dieser Ausdruck entspricht dem, mit dem Sie begonnen haben, ist jedoch viel einfacher zu integrieren. Verwenden Sie dazu die Summenregel, um sie in drei Integrale zu zerlegen, die Konstante Mehrfachregel, um Brückenkoeffizienten außerhalb jedes Integrals zu verschieben, und die Variablensubstitution, um die Integration durchzuführen. Hier ist die Antwort, damit Sie es ausprobieren können:

Diese Antwort verwendet K anstelle von C , um die Integrationskonstante darzustellen, um Verwechslungen zu vermeiden, da Sie bereits C verwendet haben. in den früheren Teilfraktionen.

Wenn Sie mit einem ausgeprägten linearen Faktor beginnen, werden Sie bei Verwendung von Teilfraktionen mit einem Integral in folgender Form belassen:

Integrieren mit der Variablenersetzung u = ax + b so dass du = a dx und

Diese Substitution führt zu folgendem Integral:

Hier einige Beispiele: