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Wie man verschiedene Typen von Mengen erkennt

Wie man verschiedene Typen von Mengen erkennt - Dummys

Um mit Mengen arbeiten zu können, müssen Sie Begriffe wie Elemente und Kardinalität verstehen. Sie müssen auch wissen, wie Sie gleiche Mengen, Untermengen und leere Mengen erkennen und wie sie zueinander in Beziehung stehen.

Die in einer Menge enthaltenen Dinge werden Elemente genannt (auch bekannt als Mitglieder). Betrachten Sie die folgenden zwei Sätze:

A = {Empire State Building, Eiffelturm, römisches Kolosseum}

B = {Albert Einsteins Intelligenz, Marilyn Monroes Talent, Joe DiMaggios athletische Fähigkeit, Senator Joseph McCarthys Rücksichtslosigkeit}

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Der Eiffelturm ist ein Element von A, und Marilyn Monroes Talent ist ein Element von B. Sie können diese Anweisungen mit dem Symbol schreiben, was bedeutet, ist ein Element von :

Eiffelturm A

Marilyn Monroes Talent B

Der Eiffelturm ist jedoch kein Element von B. Sie können diese Aussage mit dem Symbol schreiben, was bedeutet, ist kein Element von :

Eiffelturm B

Diese beiden Symbole werden häufiger, wenn Sie sich in Ihrem Mathematikstudium höher bewegen.

Sehen wir uns nun an, was sich in diesen Klammern befindet und wie sich einige Sätze zueinander verhalten.

Kardinalität von Mengen

Die Kardinalität einer Menge ist nur ein Phantasiewort für die Anzahl der Elemente in dieser Menge.

Wenn A {Empire State Building, Eiffelturm, römisches Kolosseum} ist, hat es drei Elemente, also ist die Kardinalität von A drei. Satz B, der die Intelligenz von Albert Einstein, das Talent von Marilyn Monroe, die sportliche Fähigkeit von Joe DiMaggio, die Rücksichtslosigkeit von Senator Joseph McCarthy ist, hat vier Elemente, so ist die Kardinalität von B vier.

Gleiche Mengen

Wenn zwei Mengen die exakt gleichen Elemente auflisten oder beschreiben, sind die Mengen gleich (man kann auch sagen, sie sind identisch oder gleichwertig). Die Reihenfolge der Elemente in den Mengen spielt keine Rolle. In ähnlicher Weise kann ein Element zweimal in einem Satz erscheinen, aber nur die einzelnen Elemente müssen übereinstimmen.

Angenommen, Sie definieren einige Mengen wie folgt:

C = die vier Jahreszeiten

D = {Frühling, Sommer, Herbst, Winter}

E = {Herbst, Frühling, Sommer, Winter}

F = {Sommer, Sommer, Sommer, Frühling, Herbst, Winter, Winter, Sommer}

Satz C gibt eine klare Regel an, die einen Satz beschreibt. In Set D werden die vier Elemente in C explizit aufgelistet. In Set E werden die vier Jahreszeiten in einer anderen Reihenfolge aufgelistet. Und Satz F listet die vier Jahreszeiten mit einer gewissen Wiederholung auf. Somit sind alle vier Sätze gleich. Wie bei Zahlen können Sie das Gleichheitszeichen verwenden, um zu zeigen, dass Sätze gleich sind:

C = D = E = F

Untergruppen

Wenn alle Elemente eines Satzes vollständig in einem zweiten Satz enthalten sind, Der erste Satz ist eine Teilmenge des zweiten Satzes. Betrachten Sie zum Beispiel diese Sätze:

C = {Frühling, Sommer, Herbst, Winter}

G = {Frühling, Sommer, Herbst}

Wie Sie sehen, ist jedes Element von G auch ein Element von C, also G ist eine Teilmenge von C.Das Symbol für Teilmenge ist, so können Sie Folgendes schreiben:

G C

Jede Menge ist eine Teilmenge von sich selbst. Diese Idee mag merkwürdig erscheinen, bis du erkennst, dass alle Elemente einer Menge offensichtlich in dieser Menge enthalten sind.

Leere Mengen

Die leere Menge - auch Nullmenge genannt - ist eine Menge, die keine Elemente enthält:

H = {}

Wie Sie sehen können, wird H durch Auflisten seiner Elemente definiert, aber Es werden keine Elemente aufgeführt, daher ist H leer. Das Symbol wird verwendet, um die leere Menge darzustellen. Also H =.

Sie können auch eine leere Menge mit einer Regel definieren. Zum Beispiel

I = Typen von Hähnen, die Eier legen

Offensichtlich sind Hähne männlich und können deshalb keine Eier legen, also ist dieser Satz leer.

Sie können sich nichts vorstellen. Und weil nichts immer nichts ist, gibt es nur eine leere Menge. Alle leeren Mengen sind einander gleich, also in diesem Fall H = I.

Außerdem ist eine Untermenge jeder anderen Menge, daher sind die folgenden Aussagen wahr:

A

B

C

Dieses Konzept ist sinnvoll, wenn Sie darüber nachdenken. Denken Sie daran, dass es keine Elemente gibt, also ist jedes Element in jeder anderen Gruppe technisch gesehen.