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Wie man ein absolutes Extrema über die gesamte Entity einer Funktion findet

Wie man ein absolutes Extrema über die gesamte Domain einer Funktion findet - dummies

Eine Funktion absolute max und absolute min über ihre gesamte Domäne > sind die höchsten und niedrigsten Werte (Höhen) der Funktion, wo immer sie definiert ist. Wenn Sie die gesamte Domäne einer Funktion betrachten, kann eine Funktion ein absolutes Maximum oder Minimum oder beides oder keines von beiden haben. Zum Beispiel hat die Parabel y = x 2 eine absolute min am Punkt (0, 0) - der Boden ihrer Schalenform - aber kein absolutes Maximum, weil sie geht für immer nach links und rechts. Sie könnten denken, dass sein absolutes Maximum unendlich wäre, aber unendlich ist keine Zahl und somit nicht als ein Maximum qualifiziert (dito für die Verwendung von negativer Unendlichkeit als eine absolute min).

Auf der einen Seite scheint die Vorstellung vom höchsten Punkt einer Funktion und dem tiefsten Punkt ziemlich einfach zu sein, nicht wahr? Aber es ist ein Schraubenschlüssel in den Werken. Der Schlüssel ist die Kategorie von Dingen, die sich

don ' t als maxes oder mins qualifizieren. Zwei Funktionen ohne absolute Extrema.

In der Abbildung gibt es leere "Endpunkte" wie (3, 4) auf

f ( x ). f ( x ) hat kein absolutes Maximum. Sein max ist nicht 4, weil er niemals zu 4 kommt, und sein max kann nicht weniger als 4 sein, wie 3. 999, weil er höher wird, sagen wir 3. 9999. Ähnlich, ein infinitesimales Loch in einer Funktion kann nicht als max oder min qualifiziert werden. Betrachten Sie zum Beispiel die Absolutwertfunktion,

Sie kennen die V-förmige Funktion mit der scharfen Ecke am Ursprung. Es hat kein absolutes Maximum, weil es bis zur Unendlichkeit geht. Seine absolute Min ist Null (natürlich bei (0, 0)). Aber jetzt, sagen wir, ändern Sie die Funktion etwas, indem Sie den Punkt bei (0, 0) herausreißen und dort ein infinitesimales Loch lassen. Jetzt hat die Funktion kein absolutes Minimum.

Betrachten Sie nun

g ( x ) in der Abbildung. Es zeigt eine andere Art von Situation, die nicht als min (oder max) qualifiziert ist. g ( x ) hat keine absolute min. Geht man nach links, kriecht g entlang der horizontalen Asymptote bei y = 0, wobei sie immer niedriger und niedriger wird, aber niemals so niedrig wie null wird. Da es nie zu Null wird, kann Null nicht die absolute Minute sein, und es kann keine andere absolute Minute geben (wie, sagen wir, 0. 0001), weil an irgendeiner Stelle nach links, g > wird unter jede kleine Zahl kommen, die Sie benennen können. Wenn Sie dies berücksichtigen, finden Sie hier eine schrittweise Anleitung zum Auffinden des absoluten Maximums und Minimums einer Funktion (falls vorhanden): Ermitteln Sie die Höhe der Funktion bei jeder ihrer kritischen Zahlen.(Erinnern Sie sich daran, dass die kritischen Zahlen einer Funktion die

x

  1. -Werte innerhalb der Domäne der Funktion sind, wobei die Ableitung Null oder undefiniert ist.) Betrachten Sie alle

    die kritischen Zahlen, nicht nur die ein bestimmtes Intervall. Der höchste dieser Werte ist das absolute Maximum der Funktion, es sei denn, die Funktion geht über diesen Punkt hinaus. In diesem Fall hat die Funktion kein absolutes Maximum. Der niedrigste dieser Werte ist die absolute Funktion der Funktion, es sei denn, die Funktion geht tiefer als dieser Punkt. In diesem Fall hat sie keine absolute min. Die Schritte 2 und 3 helfen Ihnen herauszufinden, ob die Funktion höher als der höchste kritische Punkt und / oder niedriger als der niedrigste kritische Punkt ist. Wenn Sie Schritt 1 in der Abbildung auf g ( x ) anwenden, werden Sie feststellen, dass keine kritischen Punkte vorhanden sind. Wenn das passiert, bist du fertig. Die Funktion hat weder ein absolutes Maximum noch ein absolutes Minimum. Prüfen Sie, ob die Funktion auf unendlich und / oder auf negativ unendlich geht. Wenn eine Funktion auf positiv unendlich oder auf negativ unendlich geht, geschieht dies ganz rechts oder links oder bei einer vertikalen Asymptote. Also, werte

  2. - das sogenannte

    Endverhalten

    der Funktion - und die Grenze der Funktion als x nähert sich jeder vertikalen Asymptote (wenn es welche gibt) von links und von rechts. Wenn die Funktion nach Unendlich geht, hat sie kein absolutes Maximum; Wenn es auf negative Unendlichkeit geht, hat es keine absolute min. Zeichnen Sie die Funktion, um auf horizontale Asymptoten und seltsame Merkmale wie die Sprungdiskontinuität in f

  3. ( x ) in der Abbildung zu prüfen. Schauen Sie sich den Graphen der Funktion an. Wenn Sie sehen, dass die Funktion höher als der höchste ihrer kritischen Punkte wird, hat sie kein absolutes Maximum; Wenn es niedriger als der niedrigste seiner kritischen Punkte geht, hat es keine absolute min. Wenn Sie diesen dreistufigen Prozess in der Abbildung auf f

    ( x ) anwenden, würde Schritt 1 zwei kritische Punkte ergeben: den Endpunkt bei (3, 1) und das lokale Maximum bei ungefähr ( 4. 1, 1. 3). In Schritt 2 würden Sie feststellen, dass f auf negativ unendlich geht und somit keine absolute min. Schließlich würden Sie in Schritt 3 sehen, dass f höher ist als der höhere der kritischen Punkte (4. 1, 1. 3), und dass es daher kein absolutes Maximum hat. Sie sind fertig!