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Finden Sie die Zero-Input- und Zero-State-Antworten einer RC-Reihenschaltung

Finden Sie die Zero-Input- und Zero-State-Antworten einer RC-Reihenschaltung

Um die Gesamtantwort einer RC-Serienschaltung zu finden, müssen Sie die Nulleingangsantwort und die Nullzustandsantwort finden und sie dann zusammen hinzufügen. Eine RC-Serienschaltung erster Ordnung hat einen Widerstand (oder ein Netzwerk von Widerständen) und einen Kondensator, die in Reihe geschaltet sind.

Hier ist eine RC-Reihenschaltung, die in zwei Kreise aufgeteilt ist. Das obere rechte Diagramm zeigt die Nulleingangsantwort, die Sie erhalten, indem Sie den Eingang auf 0 setzen. Das Diagramm unten rechts zeigt die Nullzustandsantwort, die Sie erhalten, indem Sie die Anfangsbedingungen auf 0 setzen.

Zuerst möchten Sie die Null-Eingangs-Antwort für die RC-Reihenschaltung finden. Das obere rechte Diagramm zeigt hier das Eingangssignal v T (t) gleich 0. Null-Eingangsspannung bedeutet, dass Sie für alle Zeit Null ... nada ... zip ... -Eingang haben. Die Ausgangsantwort ist auf die Anfangsbedingung V 0 (anfängliche Kondensatorspannung) zum Zeitpunkt t = 0 zurückzuführen. Die Differentialgleichung erster Ordnung reduziert sich auf

Hier ist v ZI (t) die Kondensatorspannung. Für eine Eingangsquelle, die wie hier gezeigt auf 0 Volt eingestellt ist, wird die Kondensatorspannung als Null-Eingangs-Antwort oder freie Antwort bezeichnet. Keine externen Kräfte (wie eine Batterie) wirken auf den Stromkreis, mit Ausnahme des Anfangszustands der Kondensatorspannung.

Sie können vernünftigerweise vermuten, dass die Lösung die Exponentialfunktion ist (Sie können die Lösung danach überprüfen und verifizieren). Sie versuchen eine Exponentialfunktion, da die zeitliche Ableitung einer Exponentialfunktion ebenfalls exponentiell ist. Ersetze diese Vermutung in die RC-Gleichung erster Ordnung:

v ZI (t) = Ae kt

Die A und k > sind willkürliche Konstanten der Null-Eingangs-Antwort. Ersetzen Sie nun die Lösung v ZI (t) = Ae kt in die Differentialgleichung:

Sie erhalten eine Gleichung für die algebraische Kennlinie, nachdem Sie die Gleichung auf 0 gesetzt und

Ae kt ausgerechnet haben: Ae

kt (1 + RCk) = 0 Die charakteristische Gleichung gibt Ihnen ein viel einfacheres Problem. Der Koeffizient von

e kt muss 0 sein, also lösen Sie einfach die Konstante k:

Wenn Sie

k haben, haben Sie die Null-Eingangs-Antwort v ZI (t). Mit k = -1 / RC finden Sie die Lösung der Differentialgleichung für die Null-Eingabe: Nun können Sie die Konstante

A finden, indem Sie die ausgangsbedingung. Zum Zeitpunkt t = 0 ist die Anfangsspannung V 0 , was zu führt. Die Konstante

A ist einfach die Anfangsspannung > V 0 über den Kondensator. Schließlich haben Sie die Lösung für die Kondensatorspannung, die die Null-Eingangs-Antwort ist v

ZI (t) : Der konstante Ausdruck RC < in dieser Gleichung heißt die

Zeitkonstante . Die Zeitkonstante gibt an, wie lange sich ein Kondensator entladen oder aufgeladen hat. In diesem Beispiel beginnt der Kondensator bei einem anfänglichen Spannungszustand V 0 und verschwindet leise in einen anderen Zustand von 0 Volt. Es sei RC = 1 Sekunde und die Anfangsspannung

V 0 = 5 Volt. Diese Beispielschaltung stellt die abklingende Exponentialkurve dar und zeigt, dass es ungefähr 5 Zeitkonstanten oder 5 Sekunden dauert, bis die Kondensatorspannung auf 0 abfällt. Die Nullzustandsantwort durch Fokussieren auf die Eingangsquelle finden Null- Die Zustandsantwort bedeutet Null-Anfangsbedingungen, und es muss die Kondensatorspannung gefunden werden, wenn eine Eingangsquelle vorhanden ist,

v

T (t) . Sie müssen die homogenen und speziellen Lösungen finden, um die Nullzustandsantwort zu erhalten. Um Null-Anfangsbedingungen zu finden, blicken Sie auf die Schaltung, wenn zum Zeitpunkt t = 0 keine Spannung am Kondensator vorhanden ist. Die Schaltung unten rechts in diesem Beispielschaltkreis hat Anfangsbedingungen von Null und eine Eingangsspannung von V

T (t) = u (t) , wobei u (t) eine Einheitsschritt-Eingabe ist .. Mathematisch können Sie die Schrittfunktion u (t) als

beschreiben. Das Eingangssignal ist in zwei Zeitintervalle unterteilt. Wenn t <0,

u (t) = 0. Die Differentialgleichung erster Ordnung wird Sie haben die Lösung bereits vor der Zeit t gefunden. = 0, weil

v h (t) ist die Lösung der homogenen Gleichung: Sie bestimmen die beliebige Konstante c 1

nach dem Finden die besondere Lösung und Anwendung der Anfangsbedingung V 0 von 0 Volt. Finde nun die spezielle Lösung vp (t) , wenn

u (t) = 1 nach t = 0 ist. Nach der Zeit t = 0, beschreibt ein Einheitsschritt-Eingang das transiente Spannungsverhalten über dem Kondensator. Die auf einen Stufeneingang reagierende Kondensatorspannung wird als Sprungantwort

bezeichnet. Für eine Stufeneingabe v T (t)

= u (t) haben Sie eine Differentialgleichung erster Ordnung: Sie haben bereits wisst, dass der Wert des Schritts u (t) gleich 1 nach t

= 0 ist. Ersetze u (t) = 1 in die vorhergehende Gleichung: Lösung für die Kondensatorspannung v p (t)

, was die besondere Lösung ist. Die jeweilige Lösung hängt immer vom tatsächlichen Eingangssignal ab. Da die Eingabe eine Konstante nach t = 0 ist, wird angenommen, dass die spezielle Lösung v

p (t) eine Konstante V ist. A ebenfalls. Die Ableitung einer Konstanten ist 0, was folgendes impliziert: Ersetzen Sie jetzt v p

(t)

= V A und seine Ableitung in die Differentialgleichung erster Ordnung: Nach einer relativ langen Zeitspanne folgt die spezielle Lösung der Einheitsschritt-Eingabe mit der Stärke V A = 1.Im Allgemeinen führt eine Stufeneingabe mit der Stärke

V A oder V A u (t) zu einer Kondensatorspannung von V > A . Nachdem Sie die homogenen und speziellen Lösungen gefunden haben, addieren Sie die beiden Lösungen, um die Nullzustandsantwort v ZS (t) zu erhalten. Sie finden

c 1 durch Anwenden der Anfangsbedingung, die gleich 0 ist. Die homogene Lösung und die jeweilige Lösung addierend, haben Sie v ZS ( t) :

v ZS (t) = v h

(t) + v p (t) Wenn Sie in den homogenen und speziellen Lösungen substituieren, erhalten Sie Bei t = 0 ist die Anfangsbedingung v

c

(0) = 0 für die Nullzustandsantwort. Sie berechnen jetzt v ZS ( 0 ) als Als nächstes lösen Sie für c 1 : c

1 = -V A Ersetzt

c 1 in die Nullzustandsgleichung, um die vollständige Lösung der Nullzustandsantwort v zu erzeugen.

ZS (t) :