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Berechnung von Fehlergrenzen für Taylor-Polynome

Berechnung von Fehlergrenzen für Taylor-Polynome - Dummys

Ein Taylor-Polynom approximiert den Wert einer Funktion, und in vielen Fällen ist es hilfreich, die Genauigkeit einer Näherung zu messen. Diese Information wird durch den Taylor-Restterm bereitgestellt:

f ( x ) = T n ( x ) + R n ( x )

Beachten Sie, dass die Addition des Restterms R n ( x >) verwandelt die Approximation in eine Gleichung. Hier ist die Formel für den verbleibenden Zeitraum:

Es ist wichtig klar zu sein, dass diese Gleichung für einen spezifischen Wert von c im Intervall zwischen a und < x . Es funktioniert nicht für jeden beliebigen Wert von c in diesem Intervall. Idealerweise liefert der Restterm die genaue Differenz zwischen dem Wert einer Funktion und der Approximation

T n ( x ). Da der Wert von c jedoch unsicher ist, liefert der Restterm in der Praxis wirklich ein Worst-Case-Szenario für Ihre Näherung.

Das folgende Beispiel soll helfen, diese Idee klar zu machen, indem man das Taylor-Polynom sechster Ordnung für cos

x verwendet: Angenommen, man benutzt dieses Polynom, um cos 1 zu approximieren. :

Wie genau ist diese Annäherung wahrscheinlich? Um dies herauszufinden, benutzen Sie den Restbegriff:

cos 1 =

T 6 ( x ) + R 6 ( x < ) Durch Hinzufügen des zugehörigen Restausdrucks wird diese Näherung in eine Gleichung umgewandelt. Hier ist die Formel für den Restterm: Wenn Sie also für

x

1 durch 1 ersetzen, erhalten Sie: An diesem Punkt sind Sie scheinbar festgefahren, weil Sie den Wert von sin nicht kennen. > c .

Sie können jedoch c = 0 und c = 1 einschließen, um Ihnen eine Reihe von möglichen Werten zu geben: Beachten Sie, dass diese Ungleichheit aufgrund der Intervall beteiligt, und weil dieser Sinus in diesem Intervall erhöht. Sie können eine andere Grenze mit einem anderen Intervall erhalten. Dies vereinfacht eine sehr nahe Näherung: Somit sagt der Restterm voraus, dass der zuvor berechnete Näherungswert innerhalb von 0,00017 des tatsächlichen Werts liegen wird. Und tatsächlich,

Wie Sie sehen können, liegt die Näherung innerhalb der Fehlergrenzen, die durch den Restterm vorhergesagt werden.