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Analyse einer parallelen RL-Schaltung unter Verwendung einer Differentialgleichung

Analyse einer parallelen RL-Schaltung unter Verwendung einer Differentialgleichung - Dummies

Eine RL-Parallelschaltung erster Ordnung hat einen Widerstand (oder ein Netzwerk von Widerständen) und einen einzelnen Induktor. .. Schaltkreise erster Ordnung können unter Verwendung von Differentialgleichungen erster Ordnung analysiert werden. Indem Sie eine Schaltung erster Ordnung analysieren, können Sie ihr Timing und ihre Verzögerungen verstehen.

Die Analyse einer solchen parallelen RL-Schaltung, wie die hier gezeigte, folgt demselben Prozess wie die Analyse einer RC-Serienschaltung. Wenn Sie also mit diesem Verfahren vertraut sind, sollte dies ein Kinderspiel sein.

Wenn Ihre RL-Parallelschaltung einen Induktor hat, der mit einem Netzwerk von Widerständen anstelle eines einzelnen Widerstands verbunden ist, können Sie den gleichen Ansatz verwenden, um die Schaltung zu analysieren. Aber Sie müssen zuerst das Norton-Äquivalent finden, indem Sie das Widerstandsnetzwerk auf einen einzelnen Widerstand parallel zu einer einzelnen Stromquelle reduzieren.

Beginnen Sie mit der einfachen RL-Parallelschaltung

Da der Widerstand und die Drossel im Beispiel parallel geschaltet sind, müssen sie die gleiche Spannung v (t) haben. Der Widerstandsstrom i R (t) basiert auf dem Ohmschen Gesetz:

Die Elementbedingung für einen Induktor wird als

wobei i (t) der Induktorstrom und L die Induktivität ist.

Sie benötigen einen sich ändernden Strom, um Spannung über einen Induktor zu erzeugen. Wenn sich der Induktivitätsstrom nicht ändert, gibt es keine Induktorspannung, was einen Kurzschluss bedeutet.

Ersetzen Sie jetzt v (t) = Ldi (t) / dt in das Ohmsche Gesetz, weil Sie die gleiche Spannung über den Widerstand und den Induktor haben:

Das aktuelle Gesetz von Kirchhoff (KCL) sagt die eingehenden Ströme sind gleich den ausgehenden Strömen an einem Knoten. Verwenden Sie KCL am Knoten A der Abtastschaltung, um i N (t) = i R (t) = i (t) zu erhalten.

Ersetzen Sie i R (t) in die KCL-Gleichung, um Ihnen

zu geben. Die RL-Parallelschaltung ist eine Schaltung erster Ordnung, da sie durch ein Differential erster Ordnung beschrieben wird. Gleichung, wobei die unbekannte Variable der Induktorstrom i (t) ist. Eine Schaltung, die einen einzelnen äquivalenten Induktor und einen äquivalenten Widerstand enthält, ist eine Schaltung erster Ordnung.

Wenn Sie den Induktorstrom kennen, erhalten Sie die magnetische Energie, die in einem Induktor gespeichert ist.

Im Allgemeinen wird der Induktorstrom als eine Zustandsvariable bezeichnet, da der Induktorstrom das Verhalten der Schaltung beschreibt.

Berechnen der Nulleingangsantwort für eine RL-Parallelschaltung

Die RL-Parallelschaltung teilt sich auf in zwei Probleme: die Nulleingangsantwort und die Nullzustandsantwort.Hier analysieren Sie zunächst die Null-Eingangs-Antwort.

Zur Vereinfachung stellen Sie die Eingangsquelle (oder Forcing-Funktion) auf 0: i N (t) = 0 Ampere. Das bedeutet für alle Zeiten keinen Eingangsstrom - eine große, fette Null. Die Differentialgleichung erster Ordnung reduziert sich auf

Für eine Eingangsquelle ohne Strom wird der Induktorstrom i Z I als Null-Eingangs-Antwort .. Keine externen Kräfte wirken auf den Stromkreis, außer für seinen Anfangszustand (oder in diesem Fall den Induktorstrom). Die Ausgabe ist auf einen anfänglichen Induktorstrom I 0 zum Zeitpunkt t = 0 zurückzuführen.

Sie machen eine vernünftige Schätzung an der Lösung (die natürliche Exponentialfunktion!) und ersetzen Sie Ihre Schätzung in die RL Differentialgleichung erster Ordnung. Angenommen, der Induktorstrom und die Induktionsspannung sind

i ZI (t) = Be kt

Dies ist eine vernünftige Schätzung, da die zeitliche Ableitung einer Exponentialfunktion ebenfalls exponentiell ist. Wie ein guter Freund wird Sie die Exponentialfunktion nicht enttäuschen, wenn Sie diese Differentialgleichungen lösen.

Als nächstes bestimmen Sie die Konstanten B und k . Ersetzen Sie Ihre Schätzung i ZI (t) = Be kt in die Differentialgleichung:

Ersetzen von i ZI < (t) mit Be kt und einige mathematische Berechnungen erhalten Sie wie folgt: Sie haben die charakteristische Gleichung nach dem Austeilen von

Be kt >: Die charakteristische Gleichung gibt ein algebraisches Problem für die Konstante k

auf: Verwenden Sie k = -R / L

und den anfänglichen Induktivitätsstrom I 0 bei t = 0. Dies impliziert, dass B = I 0 , also die Null-Eingangs-Antwort i ZI (t) gibt Ihnen Folgendes: Die Konstante L / R

heißt Zeitkonstante . Die Zeitkonstante liefert ein Maß dafür, wie lange ein Induktivitätsstrom braucht, um zu 0 zu gehen oder von einem Zustand in einen anderen zu wechseln. Um die RL-Parallelschaltung weiter zu analysieren, müssen Sie die Nullzustandsantwort der Schaltung berechnen und dieses Ergebnis dann der Nulleingangsantwort hinzufügen, um die Gesamtantwort für die Schaltung zu finden.