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Analysieren eines RC-Schaltkreises erster Ordnung mit Laplace-Methoden

Analysieren eines RC-Schaltkreises erster Ordnung mit Laplace-Methoden - Dummies

Die Verwendung der Laplace-Transformation als Teil Ihrer Schaltungsanalyse liefert Ihnen eine Vorhersage der Schaltkreisantwort. Analysieren Sie die Pole der Laplace-Transformation, um eine allgemeine Vorstellung vom Ausgabeverhalten zu erhalten. Echte Pole zeigen beispielsweise ein exponentielles Ausgangsverhalten an.

Befolgen Sie diese grundlegenden Schritte, um eine Schaltung mit Laplace-Techniken zu analysieren:

  1. Entwickeln Sie die Differentialgleichung im Zeitbereich unter Verwendung von Kirchhoffschen Gesetzen und Elementgleichungen.

  2. Wenden Sie die Laplace-Transformation der Differentialgleichung an, um die Gleichung in die s -Domäne zu schreiben.

  3. Algebraische Lösung für die Lösung oder Antworttransformation.

  4. Wenden Sie die umgekehrte Laplace-Transformation an, um die Lösung für die ursprüngliche Differentialgleichung zu erstellen, die in der Zeitdomäne beschrieben ist.

Um mit diesem Prozess vertraut zu werden, müssen Sie einfach üben, ihn auf verschiedene Arten von Schaltkreisen anzuwenden, wie z. B. eine RC- (Widerstands-Kondensator-) Schaltung, eine RL- (Widerstandsinduktor-) Schaltung und eine RLC (Widerstandsinduktor-). Kondensator) Schaltung.

Betrachten Sie die hier gezeigte einfache RC-Serienschaltung erster Ordnung. Um die Differentialgleichung für diese Reihenschaltung einzurichten, können Sie das Kirchhoff-Spannungsgesetz (KVL) verwenden, das besagt, dass die Summe der Spannungsanstiege und -abfälle um eine Schleife Null ist. Diese Schaltung hat die folgende KVL-Gleichung um die Schleife herum:

-v S (t) + v r (t) + v c (t) = 0

Formulieren Sie als Nächstes die Elementgleichung (oder i-v Kennlinie) für jedes Gerät. Die Elementgleichung für die Quelle ist

v S (t) = V A u (t)

Verwenden Sie das Ohmsche Gesetz, um die Spannung am Widerstand zu beschreiben: > v

R (t) = i (t) R Die Elementgleichung des Kondensators wird gegeben als

Diesen Ausdruck für

i (t) in v setzen R (t) gibt Ihnen folgenden Ausdruck: Substitution von

v R (t), v C (t), und v S (t) in die KVL-Gleichung führt zu Jetzt ordne die Gleichung neu an, um die gewünschte Differentialgleichung erster Ordnung zu erhalten:

Jetzt bist du bereit, die Laplace-Transformation der Differentialgleichung in der

s -Domäne anzuwenden. Das Ergebnis ist Auf der linken Seite wurde die Linearitätseigenschaft verwendet, um die Laplace-Transformation jedes Terms zu übernehmen. Für den ersten Term auf der linken Seite der Gleichung verwenden Sie die Differenzierungseigenschaft, die Ihnen

Diese Gleichung verwendet

V C ( s ) = ℒ [v C (t)] und V 0 ist die Anfangsspannung über dem Kondensator. Mit Hilfe der folgenden Tabelle liefert Ihnen die Laplace-Transformation einer Sprungfunktion folgendes: Basierend auf den vorhergehenden Ausdrücken für die Laplace-Transformationen lautet die Differentialgleichung wie folgt:

Ordnen Sie als nächstes die Gleichung neu an: < Lösen Sie für die Ausgabe

V

c

(s) , um die folgende Transformationslösung zu erhalten: Durch Ausführen einer inversen Laplace-Transformation von V C > (s)

für eine gegebene Anfangsbedingung führt diese Gleichung zur Lösung v C (t) der ursprünglichen Differentialgleichung erster Ordnung. Weiter zu Schritt 3 des Prozesses. Um die Zeitbereichslösung v C (t)

zu erhalten, müssen Sie für den ersten Term auf der rechten Seite der vorhergehenden Gleichung eine partielle Bruchausdehnung vornehmen: müssen die Konstanten A und B

bestimmen. Um die vorstehende Gleichung zu vereinfachen, multiplizieren Sie beide Seiten mit s (s + 1 / RC) , um die Nenner zu entfernen: Ordnen Sie die Gleichung algebraisch durch Sammeln ähnlicher Terme an: Wenn die linke Seite der vorhergehenden Gleichung Null ist, müssen die Koeffizienten Null sein ( A + B = 0 und

A - V

A = 0 ). Für die Konstanten A und B werden Sie mit A = V A und B = -V A .. Ersetzen Sie diese Werte durch die folgende Gleichung: Die Substitution führt Sie zu: Ersetzen Sie jetzt den vorhergehenden Ausdruck in der Gleichung V C

(s)

, um die Transformationslösung zu erhalten. : Damit ist die partielle Fraktionsexpansion abgeschlossen. Sie können dann die zuvor angegebene Tabelle verwenden, um die inverse Laplace-Transformation für jeden Term auf der rechten Seite der vorhergehenden Gleichung zu finden. Der erste Term hat die Form einer Sprungfunktion, und die letzten beiden Terme haben die Form einer Exponentialfunktion. Die inverse Laplace-Transformation der vorhergehenden Gleichung führt also zu folgender Lösung: v C < (t)

im Zeitbereich:

Das Ergebnis zeigt, dass bei Annäherung der Zeit t der Kondensator auf den Wert des Eingangs V A < . Auch die anfängliche Spannung des Kondensators stirbt nach einer langen Zeitperiode (etwa 5 Zeitkonstanten, RC) schließlich auf Null ab.