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Analyse einer RLC-Parallelschaltung zweiter Ordnung mit Dualität

Analyse einer RLC-Parallelschaltung zweiter Ordnung mit Dualität - Dummies

RLC-Schaltungen zweiter Ordnung haben einen Widerstand, eine Induktivität und einen Kondensator, die seriell oder parallel geschaltet sind. Um eine Parallelschaltung zweiter Ordnung zu analysieren, folgen Sie dem gleichen Prozess zur Analyse einer RLC-Reihenschaltung.

Hier ist ein Beispiel einer RLC-Parallelschaltung. Das linke Diagramm zeigt eine Eingabe i N mit einem anfänglichen Induktorstrom von I 0 und einer Kondensatorspannung von V 0 . Das obere rechte Diagramm zeigt die Eingangsstromquelle i N , die gleich Null gesetzt ist, wodurch Sie die Null-Eingangs-Antwort lösen können. Das Diagramm unten rechts zeigt die Anfangsbedingungen ( I 0 und V 0 ) gleich Null, wodurch Sie die Nullzustandsantwort erhalten können.

Mit der Dualität ersetzst du jeden elektrischen Term in einer Gleichung durch sein Dual oder Gegenstück und erhältst eine andere korrekte Gleichung. Zum Beispiel sind Spannung und Strom duale Variablen.

Richten Sie eine typische RLC-Parallelschaltung ein

Da die zuvor gezeigten Komponenten der Sample-Parallelschaltung parallel geschaltet sind, richten Sie die Differentialgleichung zweiter Ordnung mithilfe des aktuellen Kirchhoff-Gesetzes (KCL) ein. KCL sagt, dass die Summe der eingehenden Ströme gleich der Summe der ausgehenden Ströme an einem Knoten ist. Wenn Sie KCL am Knoten A der Beispielschaltung verwenden, erhalten Sie

i N (t) = i R (t) + i C (t) + i L (t)

Legen Sie als nächstes den Widerstandsstrom und den Kondensatorstrom in Bezug auf den Induktivitätsstrom fest. Der Widerstandsstrom i R (t) basiert auf dem alten, zuverlässigen Ohm'schen Gesetz:

Die Elementbedingung für einen Induktor wird als

Der Strom i L (t) ist der Induktorstrom und L ist die Induktivität. Diese Einschränkung bedeutet, dass ein sich ändernder Strom eine Induktorspannung erzeugt. Wenn sich der Induktivitätsstrom nicht ändert, gibt es keine Induktorspannung, was einen Kurzschluss impliziert.

Parallele Geräte haben die gleiche Spannung v (t) . Sie verwenden die Induktorspannung v (t) , die gleich der Kondensatorspannung ist, um den Kondensatorstrom zu erhalten. i C (t) :

Jetzt ersetzen < v (t) = Ldi L (t) / dt in das Ohmsche Gesetz, weil Sie auch die gleiche Spannung über den Widerstand und den Induktor haben: Ersetzen Sie die Werte von

i R (t) und i C (t) in die KCL-Gleichung, um Ihnen die Geräteströme in Bezug auf den Induktivitätsstrom zu geben: Die RLC-Parallelschaltung wird durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben, daher ist die Schaltung eine Schaltung zweiter Ordnung.Die Unbekannte ist der Induktorstrom i

L (t) . Die Analyse der RLC-Parallelschaltung folgt den gleichen Linien wie die RLC-Reihenschaltung. Vergleichen Sie die vorhergehende Gleichung mit dieser aus der RLC-Reihe abgeleiteten Gleichung zweiter Ordnung: Die beiden Differentialgleichungen haben die gleiche Form. Die unbekannte Lösung für die parallele RLC-Schaltung ist der Induktorstrom und die unbekannte für die Reihen-RLC-Schaltung ist die Kondensatorspannung. Diese Unbekannten sind duale Variablen.

Mit

Dualität

können Sie jeden elektrischen Term in einer Gleichung durch seine duale ersetzen und eine andere korrekte Gleichung erhalten. Wenn Sie die folgende Substitution von Variablen in der Differentialgleichung für die RLC-Reihenschaltung verwenden, erhalten Sie die Differentialgleichung für die RLC-Parallelschaltung. Dualität ermöglicht es Ihnen, Ihre Analyse zu vereinfachen, wenn Sie vorherige Ergebnisse kennen. Hurra! Finden Sie die Null-Eingangs-Antwort

Die Ergebnisse, die Sie für eine RLC-Parallelschaltung erhalten, ähneln denen, die Sie für die RLC-Reihenschaltung erhalten. Für eine Parallelschaltung haben Sie eine zweite Ordnung und homogene Differentialgleichung, die in Bezug auf den Induktorstrom gegeben ist:

Die vorhergehende Gleichung gibt drei mögliche Fälle unter dem Radikal:

Die Null-Eingangsantworten der Induktorantworten ähnelt der hier gezeigten Form, die die Kondensatorspannung beschreibt.

Wenn Sie

k

1 und k 2 haben, haben Sie die Null-Eingangs-Antwort i ZI (t ) . Die Lösung gibt Ihnen Sie können die Konstanten c

1 und c 2 unter Verwendung der in der RLC-Reihenschaltung gefundenen Ergebnisse finden, die als Wenden Sie Dualität auf die vorhergehende Gleichung an, indem Sie die Spannung, den Strom und die Induktivität mit ihren dualen Werten (Strom, Spannung und Kapazität) ersetzen, um c

1 und c zu erhalten. 2 für die RLC-Parallelschaltung: Nach dem Einstecken der Dual-Variablen ist es einfach, die Konstanten c

1 und c 2 zu finden. Ankunft bei der Nullzustandsantwort Nullzustandsantwort bedeutet Nullanfangsbedingungen. Sie müssen die homogenen und speziellen Lösungen des Induktivitätsstroms finden, wenn es eine Eingangsquelle

i

N (t) gibt. Null Anfangsbedingungen bedeutet, dass der Schaltkreis betrachtet wird, wenn 0 Spulenstrom und 0 Kondensatorspannung vorhanden sind. Wenn t

<0, u (t) = 0. Die Differentialgleichung zweiter Ordnung wird wie folgt, wobei i L ( t) ist der Induktorstrom: Für eine Stufeneingabe mit u (t)

= 0 vor der Zeit t = 0 ist die homogene Lösung ih ( t) ist Durch Hinzufügen der homogenen Lösung zu der jeweiligen Lösung für eine Schritteingabe IAu (t)

erhalten Sie die Nullzustandsantwort i ZS ( t) : Schließen Sie nun die Werte von an. i

h (t) und i p (t) : Hier sind die Ergebnisse von C

1 und C 2 für die RLC-Reihenschaltung: Sie wenden die Dualität jetzt durch eine einfache Substitution von Begriffe, um C

1 und C 2 für die RLC-Parallelschaltung zu erhalten: Finden Sie die Gesamtreaktion Sie addieren schließlich die Null - Eingangsantwort

i

ZI (t) und die Nullzustandsantwort i ZS (t) um die Gesamtreaktion zu erhalten > i L (t) : Die Lösung ähnelt der Resul ts für die RLC-Reihenschaltung.Außerdem folgen die Sprungantworten des Induktorstroms der gleichen Form wie die in den in dieser Abtastschaltung gefundenen Sprungantworten für die Kondensatorspannung.