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Eine RLC-Schaltung mit Laplace-Methoden analysieren

Eine RLC-Schaltung mit Laplace-Methoden analysieren - Dummys

Die Verwendung der Laplace-Transformation als Teil Ihrer Schaltungsanalyse liefert Ihnen eine Vorhersage der Schaltkreisantwort. Analysieren Sie die Pole der Laplace-Transformation, um eine allgemeine Vorstellung vom Ausgabeverhalten zu erhalten. Echte Pole zeigen beispielsweise ein exponentielles Ausgangsverhalten an.

Befolgen Sie diese grundlegenden Schritte, um eine Schaltung mit Laplace-Techniken zu analysieren:

  1. Entwickeln Sie die Differentialgleichung im Zeitbereich unter Verwendung von Kirchhoffschen Gesetzen und Elementgleichungen.

  2. Wenden Sie die Laplace-Transformation der Differentialgleichung an, um die Gleichung in die s -Domäne zu schreiben.

  3. Algebraische Lösung für die Lösung oder Antworttransformation.

  4. Wenden Sie die umgekehrte Laplace-Transformation an, um die Lösung für die ursprüngliche Differentialgleichung zu erstellen, die in der Zeitdomäne beschrieben ist.

Um mit diesem Prozess vertraut zu werden, müssen Sie einfach üben, ihn auf verschiedene Arten von Schaltkreisen anzuwenden, wie z. B. eine RC- (Widerstands-Kondensator-) Schaltung, eine RL- (Widerstandsinduktor-) Schaltung und eine RLC (Widerstandsinduktor-). Kondensator) Schaltung.

Hier sehen Sie eine RLC-Schaltung, in der der Schalter lange Zeit geöffnet war. Der Schalter ist zum Zeitpunkt t = 0 geschlossen.

In dieser Schaltung haben Sie die folgende KVL-Gleichung:

v R (t) + v L (t) + v (t) = 0

Formulieren Sie als Nächstes die Elementgleichung (oder iv Kennlinie) für jedes Gerät. Ohmsches Gesetz beschreibt die Spannung über dem Widerstand (wobei i (t) = i L (t) gilt, weil die Schaltung in Reihe geschaltet ist, wobei I (s) = I L (s) sind die Laplace-Transformationen:

v R (t) = i (t) R

Die Elementgleichung des Induktors ist gegeben durch

Und die Elementgleichung des Kondensators ist

. v C (0) = V 0 ist die Anfangsbedingung und ist gleich 5 Volt.

Ersetzen der Elementgleichungen, v R (t), v C (t), und v L (t) ergibt in der KVL-Gleichung die folgende Gleichung (mit einem ausgefallenen Namen: die Integro-Differentialgleichung ):

Der nächste Schritt besteht darin, die Laplace-Transformation auf die vorhergehende anzuwenden. Gleichung, um ein I (s) zu finden, das die Integro-Differentialgleichung für einen gegebenen Satz von Anfangsbedingungen erfüllt:

Die obige Gleichung verwendet die Linearitätseigenschaft, die es Ihnen erlaubt, die Laplace-Transformation jedes Terms zu verwenden. Für den ersten Term auf der linken Seite der Gleichung verwenden Sie die Differentiationseigenschaft, um die folgende Transformation zu erhalten:

Diese Gleichung verwendet I L (s) = ℒ > [i (t)] und I 0 ist der Anfangsstrom, der durch den Induktor fließt.Da der Schalter für eine lange Zeit offen ist, ist die Anfangsbedingung I 0 gleich Null. Für den zweiten Term der KVL-Gleichung, die sich mit dem Widerstand

R beschäftigt, ist die Laplace-Transformation einfach ℒ [i (t) R] = I (s) R

Für den dritten In dem KVL-Ausdruck, der sich mit dem Kondensator

C befasst, haben Sie Die Laplace-Transformation der Integro-Differentialgleichung wird

Die Gleichung neu ordnen und für

I (s) lösen : Verwenden Sie die folgende Tabelle, um die Zeitbereichslösung

i (t) zu erhalten, und beachten Sie, dass die vorhergehende Gleichung die Form einer sinusoidalen Dämpfung hat. Jetzt schließen Sie

I 0 = 0 und einige Zahlen aus dieser Zahl an: Jetzt haben Sie diese Gleichung:

Sie landen mit dem folgende Lösung:

i (t) = [-0. 01e

-400t sin500t] u (t) Für diese RLC-Schaltung haben Sie eine sinusoidale Dämpfung. Die Oszillationen werden nach einer langen Zeitspanne aussterben. Für dieses Beispiel ist die Zeitkonstante 1/400 und wird nach 5/400 = 1/80 Sekunden absterben.