Business

5 Spezielle Sequenzen und ihre Summen

5 Spezielle Sequenzen und ihre Summen - Dummys

Arithmetische Folgen sind sehr vorhersehbar. Die Begriffe sind immer ein konstanter Unterschied voneinander. Die Terme in einer arithmetischen Folge sind a 1 , a 2 , a 3 , ..., a < n = a 1 , a 1 + d , a 1 + 2 d , a 1 + 3 d , ..., a 1 + ( n - 1) d . Die Häufigkeit, mit der Sie die allgemeine Differenz zum ersten Begriff hinzufügen, ist um 1 kleiner als die Gesamtanzahl der Begriffe.

Um die Summe der Terme einer arithmetischen Sequenz zu ermitteln, können Sie eine der folgenden Formeln verwenden:

Um die Summe mit einer der beiden Formeln zu finden, müssen Sie wissen, wie viele Terme in der Sequenz enthalten sind. Lösen Sie für

n die Anzahl der Terme unter Verwendung der Regel für den allgemeinen Term der arithmetischen Sequenz: a n = a 1 + ( n - 1) d .

Um die Summe von 4 + 10 + 16 + 22 + 28 + · · · + 304 zu finden, erkennen Sie, dass der erste Term,

a 1 , 4, der letzte Ausdruck, a n , ist 304, und die Differenz zwischen jedem Paar von Termen ist 6. Lösen von 4 + ( n - 1) 6 = 304, Sie erhalten 6 n - 6 = 300; 6 999 n999 = 306; n = 51. Die Summe dieser 51 Begriffe ist also

Geometrisch gesprochen Geometrische Sequenzen sind fast so vorhersehbar wie arithmetische Folgen. Die Begriffe haben ein gemeinsames Verhältnis - Sie teilen jeden Begriff in einer geometrischen Folge durch den Begriff, der vor ihm kommt, und Sie erhalten das gleiche Verhältnis oder Multiplikator, egal welche zwei Begriffe Sie wählen.

Die geometrische Reihenfolge 1, 3, 9, 27, 81, ... hat einen ersten Term von 1 und ein gemeinsames Verhältnis von 3. Der allgemeine Term für eine geometrische Sequenz ist

g

n

g 1 ( r n -1 ), wobei g 1 der erste Ausdruck ist und r ist das gemeinsame Verhältnis. Um die ersten n Terme einer geometrischen Sequenz zu addieren, verwenden Sie diese Formel:

Wenn Sie 1 + 3 + 9 + 27 + · · · + 6, 561 addieren, stellen Sie zuerst fest, dass 6, 561 3 8

ist. Diese Antwort macht 6, 561 den neunten Term in der Reihe, weil 1 (3 8 999) = 1 (3 n -1 999) und wenn 8 = 999 n

- 1, dann n = 9. Unter Verwendung der Formel für die Summe, Erleichterung in einer Summe für e

Die Zahl e ist ungefähr gleich 2. 718281828459. Der Wert für e ist irrational, was bedeutet, dass die Dezimalzahl niemals endet oder sich wiederholt. Die Zahl ist jedoch in der wissenschaftlichen, mathematischen und finanziellen Welt absolut notwendig. Sie können den Wert für e

mit verschiedenen Formeln bestimmen, von denen eine die Summe einer Folge von Zahlen ist.Je mehr Begriffe Sie in dieser Reihe addieren, desto mehr korrekte Dezimalstellen für

e

bestimmen Sie. Der allgemeine Begriff für diese Reihe ist

Es gibt keine praktische Formel, um die Begriffe in dieser Serie zusammenzufassen, aber ein wissenschaftlicher Taschenrechner kann diese Aufgabe für eine Weile erledigen. Hier einige der Summen: Anmeldung am Sinus Der

Sinus ist eine der trigonometrischen Funktionen. Der Eingang ( x- Wert) für Trig-Funktionen besteht aus Winkelmaßen. Wenn zum Beispiel y

= sin

x

(

sin ist die Abkürzung für Sinus) und x 30 Grad ist, dann y = sin 30 Grad = 0. 5. Für die Berechnung des Werts des Sinus eines Winkels stehen mehrere unterschiedliche Methoden zur Verfügung, wobei es sich hier um eine unendliche Reihe von Werten handelt. Wenn Sie die Eingabe, x , in Bogenmaß statt Grad (360 Grad = 2π Bogenmaß) schreiben, Je mehr Begriffe Sie verwenden, desto näher kommen Sie an den genauen Wert der Funktion. Um also den Sinus von 30 Grad zu finden, ändern Sie dieses Maß in Radiant, um 30 Grad zu erhalten, etwa 0. 5236 Bogenmaß (30 Grad ist ein Zwölftel eines Kreises und Bogenmaß). Verwenden der Serie, Im vierten Term ist die Zahl so klein, dass sie auf 0 gerundet wird, wenn Sie nur vier Dezimalstellen wünschen. Einschalten von Potenzen von 2 Sie können schnell und einfach die Summe einer Folge von Potenzen von 2 finden, indem Sie einfach die nächste Potenz von 2 finden und 1 subtrahieren. Zum Beispiel 1 + 2 + 4 + 8 + 16 besteht aus den Potenzen von 2 von 2

0 bis 2 4

. Die Summe ist 2

5

- 1 = 32 - 1 = 31. Also lautet die Regel 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2

n

= 2

n + 1 - 1. Addition von Brüchen mit Vielfachen für Nenner Erstellen Sie mit eine recht interessante Folge, wobei Sie die Zahl des Begriffs mal die nächste ganze Zahl nehmen und stellen Sie ihr Produkt in den Nenner einer Fraktion. Die Summe der Terme ist gleich Dieses Ergebnis scheint fast zu leicht zu glauben, nicht wahr? Sehen Sie sich ein paar Beispiele an: