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10 Möglichkeiten zur Berechnung von Trigonometrie-Funktionen ohne Trig-Funktionen

10 Möglichkeiten zur Berechnung von Trigonometrie-Funktionen ohne Trig-Funktionen - Dummies

Eine trigonometrische Funktion hat Eingabewerte, die Winkel und Ausgabewerte sind, die reale Nummern. Beim Eingeben von Werten in eine Trig-Funktion haben Sie zwei Möglichkeiten: Sie können Grad oder Bogenmaß verwenden. Die meisten Menschen sind mit den Gradmessungen wohler, aber die Radiant-Messungen haben einen großen Vorteil: Sie sind reelle Zahlen - sie haben Dezimalwerte und sind Vielfache von π.

Das Folgende sind Formeln zum Berechnen von Trig-Funktionen unter Verwendung der Summe der Terme in einer Reihe. Je mehr Begriffe Sie verwenden, desto genauer ist Ihre Antwort auf mehr Dezimalstellen. Einige dieser Serien haben erkennbare Formeln für den allgemeinen Begriff. Andere haben einfach ein Muster, dem Sie folgen können.

Sinus

Der Sinus des Winkels x (in Bogenmaß angegeben) ist gleich der Summe der folgenden Terme:

Das Muster scheint zu verwenden ungerade Zahlenfaktoren im Nenner, die gleiche ungerade Zahl wie die Potenz von x , und die Vorzeichen abwechseln. Der allgemeine Begriff für diese Reihe ist

Cosinus

Der Kosinus des Winkels x (in Bogenmaß angegeben) entspricht den folgenden Begriffen:

Dieses Muster verwendet geradzahlige Fakultäten in den Nennern , die gleiche gerade Zahl wie eine Macht, und wechselt Zeichen. Sie mögen sich über diesen ersten Begriff wundern. Seit 0! ist gleich 1 (per Definition) und x 0 ist gleich 1, Sie haben 1 geteilt durch 1, was ziemlich nahe an 1 liegt. Der allgemeine Begriff für diese Reihe lautet:

< ! --3 ->

Tangente

Der Tangens des Winkels x (in Bogenmaß angegeben) entspricht den folgenden Begriffen:

Das Muster scheint hier nicht so offensichtlich zu sein .. In der Tat ist es ziemlich kompliziert. Anstatt Ihnen den allgemeinen Begriff zu zeigen, können Sie die Formel tatsächlich anwenden, um den Tangens von 45 Grad zu finden, oder

Dies ist eine clevere Wahl Ihrerseits, weil Sie bereits wissen, dass der Tangens von 45 Grad gleich 1 ist.

Verwenden der Formel,

Diese Berechnung gilt nur für die ersten fünf Terme. Je mehr Begriffe du verwendest, desto näher kommst du zu 1. Die nächsten Schritte beinhalten Dezimalzahlen und eine Menge Taschenrechnerberechnungen, aber tragen Sie dazu bei:

Ohne auf die blutigen Details zuzugreifen, können Sie die einzelnen Dezimalwerte der Terme sehen:

Wenn Sie diese fünf Terme addieren, erhalten Sie 1 000916. Ja, das ist größer als 1, aber runden Sie ein paar dieser Berechnungen auf, um alle sechs Dezimalstellen lang zu machen. Das Tragen von mehr Nachkommastellen macht es auch genauer.

Inverser Tangens

Der inverse Tangens mit einer reellen Zahl x gibt das Winkelmaß aus dem Eingang an.Der umgekehrte Tangens ist gleich den folgenden Begriffen:

Hier finden Sie zwei verschiedene Regeln. Im Wesentlichen hat das Quadrat eines beliebigen richtigen Bruchteils - jede Zahl zwischen -1 und 1 - ein Quadrat, das kleiner als 1 ist.

Inverser Sinus

Der umgekehrte Sinus mit einer reellen Zahl x zwischen - 1 und 1 (einschließlich dieser beiden Zahlen) geben das Winkelmaß aus dem Eingang an. Der umgekehrte Sinus wird mit Termen gefunden, die aus der folgenden Formel gebildet sind:

Hier sind die ersten Terme, die aus der Formel erstellt wurden.

Okay. Das ist genug. Du bekommst die Drift.

45-Grad-Winkel

Ein 45-Grad-Winkel, besser bekannt als

, hat eine unendliche Reihe, die den Wert des Winkels auf viele, viele Dezimalstellen angibt - so viele, wie Sie berechnen möchten.

Die Formel für alle Terme ist

Beachten Sie, dass die Potenzen von -1 die Terme im Vorzeichen abwechseln.

Pi quadriert geteilt durch 6

Es gibt viele dieser Goodies, die Potenzen von π in Brüchen verwenden, die unendliche Reihen bilden. Hier ist eins:

Sie würden wahrscheinlich lieber einen Grafikrechner benutzen, um dieses Winkelmaß zu berechnen, aber was macht das eigentlich?

Natürliches Logbuch des Sinus

Die natürlichen Logarithmen werden ausgiebig in wissenschaftlichen und geschäftlichen Anwendungen verwendet. Die Suche nach dem natürlichen Logarithmus des Sinuswinkels x (angegeben in Radianten) kann wie folgt durchgeführt werden:

Sie sehen, dass der einzige positive Term in dieser Reihe der erste Term ist.

Sinus als die Kraft von e

Im vorherigen Abschnitt haben Sie gesehen, wie Sie das natürliche Log der Sinusfunktion finden. Die Umkehrung des natürlichen Logs ist eine Potenz von e . Wenn Sie also die Tabellen drehen, wird hier die Serie für e auf den Sinus des Winkels x (in Radianten) angehoben.

Wie Sie sehen können, sind die Zeichen überall zu sehen. Und die Fakultäten springen.

Erstellen von 1 aus Sinus

Dieser letzte musste ein Goodie sein. Die meisten Leute denken, dass die Nummer 1 einfach perfekt ist. Es ist einfach, mit vielen mathematischen Strukturen zu rechnen. Aber wenn Sie sich mit den normalen Methoden der Berechnung von 1 langweilen, hier ist eine Antwort auf Ihr Bedürfnis nach Stimulation:

Es gibt eine Bedingung, dass 0 << x << k .