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10 Dinge, die man sich über Integration und Infinitesimalrechnung merken muss

10 Dinge, die man sich über Integration und Infinitesimalrechnung merken muss - Dummies

Integration ist ein wesentlicher Teil der Infinitesimalrechnung. Wenn Sie eine voll integrierte Person werden wollen (im Gegensatz zu einer abgeleiteten Person), integrieren Sie diese Integrationsregeln und machen sie zu einem integralen Bestandteil Ihres Wesens.

Die Trapezregel

Die Trapezregel gibt Ihnen eine recht gute Annäherung an die Fläche unter einer Kurve für den Fall, dass Sie nicht in der Lage sind, den genauen Bereich mit der Integration zu bestimmen - oder nicht.

Die Mittelpunktregel

Eine noch bessere Flächenapproximation wird durch die Mittelpunktregel gegeben - sie verwendet Rechtecke.

Simpson-Regel

Die beste Flächenschätzung wird von der Simpson-Regel gegeben - sie verwendet trapezförmige Formen mit parabolischen Spitzen.

Wenn Sie bereits die Mittelpunktsapproximation für zehn Rechtecke und die Trapeznäherung für zehn Trapeze haben, können Sie die Simpson-Regelannäherung für zehn kurvige "Trapeze" mit der folgenden Verknüpfung mühelos berechnen. :

Dies ergibt eine außerordentlich gute Annäherung.

Das bestimmte Integral

Im Wesentlichen ist das, was alle bestimmten Integrale,

tun, eine unendliche Anzahl von infinitesimal kleinen Stücken von etwas, um die Gesamtmenge des Dings zwischen a zu erhalten. b . Der Ausdruck nach dem Integralsymbol

(der -Integrand ) ist immer ein mathematischer Ausdruck eines repräsentativen Teils des Materials, das Sie addieren.

Das unbestimmte Integral

Das unbestimmte Integral,

ist die Familie aller Antiderivativen von

Deshalb muss Ihre Antwort mit "+ C enden. "Zum Beispiel ist

die Familie aller Parabeln der Form

wie

und so weiter. Die Ableitung all dieser Funktionen ist 2 999 x 999. Die Höhe eines Rechtecks ​​entspricht oben minus unten. Wenn Sie Rechtecke mit einem bestimmten Integral addieren, um die Gesamtfläche zwischen zwei Kurven zu erhalten, benötigen Sie einen Ausdruck für die Höhe eines repräsentativen Rechtecks. Dies sollte ein Kinderspiel sein: Es ist nur die obere

y

Koordinate des Rechtecks ​​minus seiner unteren y Koordinate. Bereich unterhalb der x-Achse ist negativ Wenn Sie z. B. den Bereich

unter

der x -Achse und oberhalb von zwischen und < Die Spitze eines repräsentativen Rechtecks ​​befindet sich auf der

x

-Achse, die Funktion

und ihre untere ist auf . Die Höhe des Rechtecks ​​ist also . definitives Integral, um den Bereich zu erhalten:

was natürlich

entspricht. Dieses

negative

-Integral gibt Ihnen also die gewöhnliche

positive Fläche.Und deshalb gibt ein gewöhnliches positives -Integral einen negativen -Bereich für die Teile einer Kurve, die unter der x -Achse liegen. In Chunks integrieren Wenn Sie die Gesamtfläche zwischen zwei Kurven und die "Top" -Funktion ändern möchten, weil sich die Kurven kreuzen, müssen Sie mehr als ein bestimmtes Integral verwenden. Jeder Ort, an dem sich die Kurven kreuzen, definiert die Kante eines Bereichs, den Sie separat integrieren müssen. (Wenn eine Funktion die x

-Achse kreuzt, müssen Sie

als zweite Funktion und x als Schnittpunkte betrachten.)

Der Hauptsatz von Kalkül, nimm 1 Gegeben eine Flächenfunktion , die den Bereich unter

ausstreicht, nämlich

, ist die Geschwindigkeit, mit der der Bereich ausgefegt wird, gleich der Höhe der ursprünglichen Funktion. Da also die Rate die Ableitung ist, ist die Ableitung der Flächenfunktion gleich der ursprünglichen Funktion:

Der Hauptsatz der Analysis lautet: 2

Sei

F

jede Funktion der Funktion > f;

dann