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10 Mathematische Konzepte, die Sie nicht ignorieren können

10 Mathematische Konzepte, die Sie nicht ignorieren können - Dummies

Mathe selbst ist ein großes Konzept, und es ist Keil voll von so vielen kleineren mathematischen Konzepten, dass niemand sie alle verstehen kann - auch nicht mit einer guten Portion Studium. Dennoch sind bestimmte Konzepte so wichtig, dass sie die Math Hall of Fame ausmachen:

  • Sets und Set Theory: Ein Set ist eine Sammlung von Objekten. Die Objekte, genannt Elemente des Satzes, können greifbar sein (Schuhe, Rotluchse, Menschen, Geleebonbons usw.) oder immateriell (fiktive Charaktere, Ideen, Zahlen und dergleichen). Sets sind eine so einfache und flexible Art, die Welt zu organisieren, dass man alles in Bezug auf Mathematik definieren kann.

    Mathematiker definieren Sätze zuerst sehr sorgfältig, um komische Probleme zu vermeiden - zum Beispiel kann eine Menge eine andere Menge enthalten, aber sie kann nicht selbst enthalten. Nachdem das ganze Konzept einer Menge klar definiert ist, werden Mengen verwendet, um Zahlen und Operationen zu definieren, wie Addition und Subtraktion, was der Ausgangspunkt für die Mathematik ist, die Sie bereits kennen und lieben.

  • Primzahlen: Eine Primzahl ist eine beliebige Zahl mit genau zwei Teilern (Zahlen, die sich gleichmäßig in sie teilen) - 1 und die Zahl selbst. Primzahlen dauern ewig - das heißt, die Liste ist unendlich - aber hier sind die ersten zehn:

    2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 ...

  • Null: Null mag wie ein großes Nichts aussehen, aber es ist tatsächlich eine der größten Erfindungen aller Zeiten. Wie alle Erfindungen existierte es nicht, bis jemand darüber nachdachte. (Die Griechen und Römer, die so viel über Mathematik und Logik wussten, wussten nichts von Null.)

    Das Konzept der Null als Zahl entstand unabhängig an mehreren Stellen. In Südamerika enthielt das Zahlensystem, das die Maya benutzten, ein Symbol für Null. Und das hindu-arabische System, das heute in fast der ganzen Welt verwendet wird, entwickelte sich aus einem früheren arabischen System, das Null als Platzhalter verwendete. In der Tat ist Null nicht wirklich nichts - es ist einfach eine Möglichkeit, nichts mathematisch auszudrücken. Und das ist wirklich etwas.

  • Pi (π): Das Symbol π ( pie ) ist ein griechischer Buchstabe, der für das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser steht. Hier ist der ungefähre Wert von π:

    π ≈ 3. 1415926535 ...

  • Obwohl π nur eine Zahl - oder algebraisch eine Konstante - ist, ist sie aus mehreren Gründen wichtig:

    • Geometrie wäre einfach nicht das gleiche ohne es. Kreise sind eine der grundlegendsten Formen in der Geometrie, und Sie benötigen π, um die Fläche und den Umfang eines Kreises zu messen.

    • Pi ist eine irrationale Nummer, was bedeutet, dass kein Bruch, der gleich ist, genau existiert.Darüber hinaus ist π eine transzendente Zahl, , was bedeutet, dass es niemals der Wert von x in einer Polynomgleichung ist (der grundlegendste Typ der algebraischen Gleichung).

    • Pi ist überall in der Mathematik. Es zeigt sich ständig (kein Wortspiel beabsichtigt) wo Sie es am wenigsten erwarten. Ein Beispiel ist die Trigonometrie, das Studium von Dreiecken. Dreiecke sind offensichtlich keine Kreise, aber Trig verwendet Kreise, um die Größe von Winkeln zu messen, und Sie können keinen Kompass schwingen, ohne π zu treffen.

  • Gleich Zeichen und Gleichungen: Das bescheidene Gleichheitszeichen (=) ist in Mathematik so verbreitet, dass es praktisch unbemerkt bleibt. Aber es repräsentiert das Konzept der Gleichheit - wenn eines mathematisch dasselbe ist -, eines der wichtigsten mathematischen Konzepte, die je geschaffen wurden. Eine mathematische Aussage mit einem Gleichheitszeichen ist eine Gleichung . Das Gleichheitszeichen verknüpft zwei mathematische Ausdrücke, die den gleichen Wert haben und bietet eine leistungsfähige Möglichkeit zum Verbinden von Ausdrücken.

  • Der xy- Graph: Bevor das xy -Graf (auch kartesisches Koordinatensystem genannt) erfunden wurde, wurden Algebra und Geometrie untersucht seit Jahrhunderten als zwei getrennte und nicht verwandte Bereiche der Mathematik. Algebra war ausschließlich das Studium von Gleichungen, und Geometrie war ausschließlich das Studium von Figuren im Flugzeug oder im Raum. Der Graph, der vom französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes erfunden wurde, brachte Algebra und Geometrie zusammen und ermöglichte es Ihnen, Lösungen für Gleichungen zu finden, die die Variablen x und y als Punkte, Linien und Kreise enthalten. und andere geometrische Formen in einem Diagramm.

  • Funktionen: Eine Funktion ist eine mathematische Maschine, die eine Zahl (den Eingang genannt) aufnimmt und genau eine andere Zahl zurückgibt ( rief die Ausgabe auf. Es ist ein bisschen wie ein Mixer, denn was man daraus herausholt, hängt davon ab, was man hineinsetzt. Angenommen, Sie erfinden eine Funktion namens PlusOne, die einer beliebigen Zahl 1 hinzufügt. Wenn Sie also die Zahl 2 eingeben, lautet die Zahl, die ausgegeben wird, 3:

    PlusOne (2) = 3

    Wenn Sie die Zahl 100 eingeben, lautet die Zahl, die ausgegeben wird, ebenfalls 101:

    PlusOne ( 100) = 101

  • Das Unendliche: Das Wort Unendlichkeit beherrscht große Macht. Das Symbol für die Unendlichkeit (∞). Unendlichkeit ist die Qualität der Unendlichkeit. Und doch haben Mathematiker die Unendlichkeit weitgehend gezähmt. In seiner Erfindung der Infinitesimalrechnung führte Sir Isaac Newton das Konzept einer - Grenze ein, , mit der Sie berechnen können, was mit Zahlen geschieht, wenn sie sehr groß werden und sich unendlich nähern.

  • Die reelle Zahlenzeile: Jeder Punkt der Zahlenzeile steht für eine Zahl. Das klingt ziemlich offensichtlich, aber seltsam zu sagen, dieses Konzept wurde seit Jahrtausenden nicht vollständig verstanden. Der griechische Philosoph Zeno von Elea stellte dieses Problem, genannt Zeno s Paradox: Um durch den Raum zu gehen, muss man zuerst die halbe Entfernung durch den Raum gehen. Dann musst du die Hälfte der verbleibenden Strecke zurücklegen.Danach musst du die halbe Strecke zurücklegen, die noch übrig ist. Dieses Muster setzt sich für immer fort, wobei jeder Wert halbiert wird, was bedeutet, dass Sie niemals auf die andere Seite des Raums gelangen können. Offensichtlich können und können Sie in der realen Welt die ganze Zeit durch Räume gehen. Aber vom Standpunkt der Mathematik blieben Zenos Paradoxon und andere ähnliche Paradoxien für ungefähr 2 000 Jahre unbeantwortet.

    Das grundlegende Problem war dieses: Alle in der vorhergehenden Sequenz aufgeführten Fraktionen liegen zwischen 0 und 1 auf der Zahlenlinie. Und es gibt eine unendliche Anzahl von ihnen. Aber wie kann man eine unendliche Anzahl von Zahlen in einem endlichen Raum haben? Mathematiker des 19. Jahrhunderts - darunter Augustin Cauchy, Richard Dedekind, Karl Weierstraß und Georg Cantor - lösten dieses Paradoxon. Das Ergebnis war reale Analyse, die fortgeschrittene Mathematik der reellen Zahlenlinie.

  • Die imaginäre Zahl i: Die imaginären Zahlen (Zahlen, die den Wert i = √ - 1 enthalten) sind eine Menge von Zahlen, die nicht auf der reelle Zahlenzeile. Wenn diese Idee unglaublich klingt - wo sonst sollten sie sein? - Keine Sorge: Jahrtausende lang glaubten auch die Mathematiker nicht an sie. Aber reale Anwendungen in der Elektronik, Teilchenphysik und vielen anderen Bereichen der Wissenschaft haben Skeptiker zu Gläubigen gemacht. Wenn Sie also im Sommer Pläne für die Verdrahtung Ihres geheimen unterirdischen Labors oder für den Bau eines Flusskondensators für Ihre Zeitmaschine erstellen - oder vielleicht nur studieren, um einen Abschluss in Elektrotechnik zu erhalten - werden Sie feststellen, dass imaginäre Zahlen zu nützlich sind, um ignoriert zu werden.