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10 Wichtige Zahlensätze zum Kennen

10 Wichtige Zahlensätze zum Kennen - Dummies

Jede der hier aufgelisteten Mengen von Zahlen dient einem anderen Zweck, einige vertraute (wie Buchhaltung und Tischlerei), einige wissenschaftliche (wie Elektronik und Physik) und einige rein mathematische.

Zählen auf (oder natürliche) Zahlen

Die Zählzahlen - auch die natürlichen Zahlen genannt - sind wahrscheinlich die ersten Zahlen, die Sie je gesehen haben. Sie beginnen mit 1 und gehen von dort hoch:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

Die drei Punkte (oder Ellipsen) am Ende erzählen Sie, dass die Reihenfolge der Zahlen für immer geht - mit anderen Worten, es ist unendlich.

Wenn Sie 0 in die Menge der Zählzahlen eintragen, erhalten Sie den Satz von ganzen Zahlen.

Identifizieren von ganzen Zahlen

Der Satz von ganzen Zahlen enthält die Zählnummern, die negativen Zählzahlen und 0:

{..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

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Das Grundprinzip hinter rationalen Zahlen kennen

Die rationalen Zahlen enthalten die ganzen Zahlen und alle Brüche zwischen den ganzen Zahlen. Nachfolgend sind die rationalen Zahlen von -1 bis 1 aufgeführt, deren Nenner (untere Zahlen) positive Zahlen kleiner als 5 sind:

Die Ellipsen sagen Ihnen, dass es zwischen jedem Paar rationaler Zahlen eine unendliche Anzahl anderer rationaler Zahlen gibt - eine Qualität, die als unendliche Dichte rationaler Zahlen bezeichnet wird.

Rationale Zahlen werden häufig für Messungen verwendet, bei denen Genauigkeit wichtig ist.

Sinn für irrationale Zahlen

In gewisser Weise sind die irrationalen Zahlen eine Art Auffangkurs; jede Zahl auf der Zahlenlinie, die nicht rational ist, ist irrational.

Per Definition kann keine irrationale Zahl als ein Bruch dargestellt werden, noch kann eine irrationale Zahl als eine abschließende Dezimalzahl oder eine wiederholende Dezimalzahl dargestellt werden. Stattdessen kann eine irrationale Zahl nur als eine nicht endende, nicht wiederholende Dezimalzahl approximiert werden: Die Folge von Zahlen nach dem Dezimalpunkt geht für immer weiter, ohne ein Muster zu erzeugen.

Das bekannteste Beispiel für eine irrationale Zahl ist pi, die den Umfang eines Kreises mit einem Durchmesser von 1 Einheit darstellt.

Irrationale Zahlen füllen die Leerzeichen in der reellen Zahlenzeile aus. (Die reelle Zahlenlinie ist nur die Zahlenlinie, die Sie gewohnt sind, aber sie ist kontinuierlich, sie hat keine Lücken, daher ist jeder Punkt mit einer Zahl gepaart.) Diese Zahlen werden in vielen Fällen verwendet, die Sie benötigen. nicht nur ein hohes Maß an Genauigkeit, wie bei den rationalen Zahlen, sondern der exakte -Wert einer Zahl, die Sie nicht als Bruch darstellen können.

Irrationale Zahlen gibt es in zwei Varianten: algebraische Zahlen und transzendente Zahlen .

Absorbierende algebraische Zahlen

Um algebraische Zahlen zu verstehen, benötigen Sie ein paar Informationen über Polynomgleichungen. Eine Polynomgleichung ist eine algebraische Gleichung, die die folgenden Bedingungen erfüllt:

  • Ihre Operationen sind auf Addition, Subtraktion und Multiplikation beschränkt. Mit anderen Worten, Sie müssen sich nicht durch eine Variable teilen.

  • Seine Variablen werden nur auf positive, ganzzahlige Exponenten erhöht.

Hier einige Polynomgleichungen:

Transzendente Zahlen bewegen

A Transzendente Zahl , im Gegensatz zu einer algebraischen Zahl, ist nie die Lösung einer Polynomialgleichung .. Transzendente Zahlen sind wie die irrationalen Zahlen eine Art Auffang: Jede Zahl auf der Zahlenlinie, die nicht algebraisch ist, ist transzendental.

Die bekannteste transzendente Zahl ist pi, deren Näherungswert 3 ist. 1415926535 ... Seine Verwendungen beginnen in der Geometrie, erstrecken sich aber auf praktisch alle Bereiche der Mathematik.

In reellen Zahlen verankert

Die Menge der reellen Zahlen ist die Menge aller rationalen und irrationalen Zahlen. Die reellen Zahlen umfassen jeden Punkt auf der Zahlenlinie.

Der Versuch, sich imaginäre Zahlen vorzustellen

Eine imaginäre Zahl ist eine reelle Zahl multipliziert mit

Um zu verstehen, was an imaginären Zahlen so seltsam ist, hilft es, etwas über Quadratwurzeln zu wissen. Die Quadratwurzel einer Zahl ist ein beliebiger Wert, der mit dieser Zahl multipliziert wird. Zum Beispiel ist die Quadratwurzel von 9 3, weil 3 x 3 = 9. Und die Quadratwurzel von 9 ist auch -3, weil -3 x -3 = 9.

Das Problem beim Finden von

ist, dass es sich nicht auf der reellen Zahlenlinie befindet. Um auf der reellen Zahlenlinie zu stehen, muss eine Zahl positiv, negativ oder 0 sein. Aber wenn Sie eine positive Zahl mit sich selbst multiplizieren, erhalten Sie eine positive Zahl. Und wenn Sie eine negative Zahl selbst multiplizieren, erhalten Sie auch eine positive Zahl. Schließlich, wenn Sie 0 mit sich selbst multiplizieren, erhalten Sie 0.

Mathematiker bezeichnet

mit dem Symbol i. Da es nicht auf die reelle Zahlenlinie passte, erhielt i eine eigene Zahlenzeile, die der echten Zahlenlinie sehr ähnlich sieht. Die Abbildung zeigt einige Zahlen, die die imaginäre Zahlenlinie bilden.

Obwohl diese Zahlen als imaginär bezeichnet werden, betrachten Mathematiker sie heute als nicht weniger real als die reellen Zahlen. Und die wissenschaftliche Anwendung von imaginären Zahlen auf Elektronik und Physik hat bestätigt, dass diese Zahlen mehr sind als nur Einbildungen von jemandem Phantasie.

Die Komplexität komplexer Zahlen erfassen

Eine komplexe Zahl von ist eine beliebige reelle Zahl plus oder minus einer imaginären Zahl. Betrachten Sie einige Beispiele:

1 + i 5 - 2 i -100 + 10 i

Sie können jede echte Zahl in eine komplexe Zahl umwandeln, indem Sie einfach 0 i (was gleich 0 ist):

3 = 3 + 0 i -12 = -12 + 0 i 3.14 = 3. 14 + 0 i Diese Beispiele zeigen Ihnen, dass die reellen Zahlen nur ein Teil des größeren Satzes komplexer Zahlen sind.

Mit transfiniten Zahlen über das Unendliche hinausgehen

Die

transfiniten Zahlen sind eine Menge von Zahlen, die verschiedene Ebenen der Unendlichkeit darstellen. Betrachten Sie dies für einen Moment: Die Zählzahlen (1, 2, 3, ...) gehen für immer weiter, also sind sie unendlich. Aber es gibt mehr reelle Zahlen als Zahlen zu zählen. In der Tat sind die reellen Zahlen

unendlich viel unendlich als die Zählzahlen. Der Mathematiker Georg Cantor hat dies bewiesen. Er bewies auch, dass man für jede Stufe der Unendlichkeit eine andere Ebene finden kann, die noch höher ist. Er nannte diese immer größer werdenden Stufen der Unendlichkeit transfinit , weil sie über das hinausgehen, was man für unendlich hält.

Die niedrigste transfinite Zahl ist aleph null, was der Anzahl der Elemente in der Menge der Zählzahlen entspricht ({1, 2, 3, 4, 5, ...}). Die nächste transfinite Zahl ist aleph eins, was der Anzahl der Elemente in der Menge reeller Zahlen entspricht. Das ist eine höhere Ordnung der Unendlichkeit als die Unendlichkeit.